逻辑代数

逻辑符号

运算律

分配律

吸收律

定理

代入定理

对偶定理

• 求对偶式时运算顺序不变，且它只变换运算符和常量，其变量是不变的

• 函数式中有“⊕”和“⊙”运算符，求对偶式时，要将运算符“⊕” 换成“⊙”，“⊙”换成“⊕”

反演定理

• 保持原函数的运算次序–先与后或，必要时适当地加入括号

• 不属于单个变量上的非号要保留

逻辑函数的标准形式

最小项及“与或”标准形式

最小项:

在一个具有n个变量的逻辑函数中，如果一个与项包含了所有n个的变量，而且每个变量都是以原变量或反变量的形式作为因子仅出现一次，那么这样的与项就称为该逻辑函数的一个最小项。

• 为了表达方便，通常用表示最小项，其下标i为最小项的编号

• 编号方法：最小项中的原变量取1，反变量取0，则最小项取值为一组二进制数，其对应的十进制数便为该最小项的编号

• 例如：三变量最小项ABC对应的变量取值为100，它对应的十进制数为4，因此，最小项ABC 的编号为m4。其余最小项的编号以此类推

• 另外，最小项编号的取值范围为[0,2n)

• 对于任意一个最小项，有且仅有一组变量取值使其值为1，而其余各种变量取值均使它的值为0

• 对于变量的任意一组取值，任意两个不同最小项的乘积均为0

• 对于变量的任意一组取值，全体最小项的和恒为1

逻辑函数展开为两种标准形式的方法

• 利用公式和

• 利用真值表

逻辑函数的化简

函数化简的依据和目标

• 逻辑电路所用门的数量最少

• 每个门的输入端个数最少

• 逻辑电路的构成级数少

• 逻辑电路可靠性提高

• 直观理解，更简单就行了呗(

代数化简法

• 并项：利用将两项并为一项，且消去变量和

• 消项：利用消去多余的项

• 消元：利用消去项中多余变量

• 配项：利用（复合变量的吸收）

卡诺图(K-map)法

• 由于横纵轴上的二进制数要逻辑相邻，所以一个轴上最多只能有2个变量(不信可以试试3变量)

• 小心填图的时候把10和11的真值填反

• 先找面积尽量大的组合进行化简，可以减少更多的因子

• 各最小项可以重复使用

• 注意利用无关状态，可以使结果大大简化

• 所有的1都被圈过后，化简结束

• 如何最简: 圈的数目越少越简；圈内的最小项越多越简

• 特别注意: 卡诺图中所有的1都必须圈到，不能合并的1必须单独画圈

无关项

• 定义：对于变量的某些组合，所对应的函数值是不定的，称其为任意项。通常 任意项在逻辑函数中称为约束项或无关项

• 处理：填函数的卡诺图时，在无关项对应的格内填任意符号“Φ”、“d”或“×”

• 对于具有无关项的逻辑函数，可以利用无关项进行化简。化简时可根据需要， 把无关项视为“1”也可视为“0”，使函数得到最简

组合逻辑电路

逻辑电平

门（电子开关）

分立元件门电路

二极管

1. A、B导线处电压都是0V(低电平)时，二极管导通。由于二极管分压0.7V，所以F处电压为0.7V，为低电平，记为0

2. A、B导线处电压有一个是3V(高电平)时，根据优先导通原则，只有0V输入处的二极管导通。剩下的分析和上面一样，F处电压是0.7V，记为0

3. A、B导线处电压都是3V(高电平)时，二极管导通。由于二极管分压0.7V，所以F处电压为3.7V，为高电平，记为1

1. A、B导线处电压都是0V(低电平)时，F处电压为0V，为低电平，记为0

2. A、B导线处电压有一个是3V(高电平)时，由于二极管分压0.7V，所以F处电压是2.3V，记为1

3. A、B导线处电压都是3V(高电平)时，和上面一样，F处电压为2.3V，记为1

三极管

1. A处电平为0时，三极管不导通，所以F处电压就是5V，记为1

2. A处电平为1时，三极管导通，因为三极管固定分压0.3V，所以F处分压0.3V，记为0

二极管、三极管组合

各种逻辑门符号

三态门

三态与非门主要应用于总线传送，它既可用于单向数据传送，也可用于双向数据传送

逻辑电路设计方法

• 确定变量： 4个输入变量 A：代数是否及格,1-及格，0-不及格 B：几何是否及格 C：生物是否及格 D：化学是否及格 1个输入变量：Y =1可以结业，Y =0不可以结业

• 作真值表

• 写表达式



(转化成与非门的方法)
转换成与非门的原因
1. 基本逻辑门的性质
与非门（NAND 门）是一种功能完整的逻辑门。这意味着通过适当的组合，任何其他逻辑门（如与门、或门、非门等）都可以用与非门实现。这种特性使得与非门可以用来构建任何逻辑电路或逻辑表达式。
2. 逻辑电路的优化和标准化
在某些情况下，电路设计可能会选择使用单一类型的逻辑门来简化设计或降低生产成本。使用与非门作为唯一的逻辑门，可以使电路的设计和制造更加标准化和简化。许多集成电路（IC）中可能会使用与非门来实现所有逻辑功能，从而减少了电路设计的复杂性。
3. 理论研究和教学
在理论计算机科学和数字逻辑设计中，使用与非门实现逻辑表达式可以帮助理解逻辑门的基本特性和逻辑函数的实现。通过练习如何用与非门实现其他逻辑门（如与门、或门、非门），可以深入理解逻辑门的功能和它们之间的关系。这对于教学和学习逻辑电路设计非常重要。
4. 简化逻辑表达式
有时候，将逻辑表达式转换为与非门形式可能会简化实际电路的实现。例如，在某些情况下，使用与非门实现的电路可能具有更小的面积或更低的功耗。这样可以在实际电路设计中实现优化。

• 画电路图

常用组合逻辑部件

译码器

定义 能将个输入变量变换成个输出函数，且输出函数与输入变量构成的最小项具有一一对应关系的一种多输出组合逻辑电路

1. 二进制译码器一般具有个输入端、个输出端和一个 (或多个) 使能输入端；

2. 使能输入端为有效电平时，对应每一组输入代码，仅一个输出端为有效电平，其余输出端为无效电平（与有效电平相反）。

3. 有效电平可以是高电平 (称为高电平译码)，也可以是低电平 (称为低电平译码)。

应用

某计算机用地址 A9 ∼ A0 选择外设，设备 A、B、C 的选择地址分别为：

20H ∼ 2FH、40H ∼ 4FH、70H ∼ 7FH，请设计地址译码器

G是使能端，ABC是输入端，Y是输出端

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当然，也能反过来考。分析下面电路，写出该译码器选择的地址范围，以及 Y0、Y1、Y2 的地址译码范围

编码器(ENC)

数据选择器(MUX)和数据分配器(DEMUX)

• 数据选择器： 从多路输入中选择一路送往输出端

• 数据分配器： 将一路输入信号选择送往多路输出之一

数值型数据的表示方法

数值型数据的表示

计算机内部 (硬件层面) 均采用二进制数编码。但在编程中经常涉及的进位记数制还 有八进制、十六进制（通常表示地址码）和十进制（通常用来表示数据）。

十进制表示法（BCD 码）

用四位二进制数表示一位十进制数，这种编码又称为二-十进制代码，其中最常用的 是 8421 码（有权编码），常用于会计系统。

1. 数码：0，1

2. 从低位开始四个一组，每组内位权依次为 8,4,2,1

3. 逢十进一，借一当十

各种进制间的转换

• 整数部分：采用除基取余法（先得为低位）

• 小数部分：采用乘基取整法（先得为高位）

1. 八进制 ↔ 二进制
3位二进制 对应 1位8进制

2. 十六进制 ↔ 二进制
4位二进制 对应 1位16进制

不同进制常见的一些写法

无符号数和有符号数

无符号数

有符号数

• 整数
例子
另一种描述：[x]原 = 符号位 + 绝对值

• 小数
例子
另一种描述：[x]原 = 符号位 + 绝对值

• 补数 1. 一个负数加上“模”即得该负数的补数 2. 一个正数和负数互为补数时，它们的绝对值之和即为模数 3. 举例:

• 补码定义 1. 整数:
1. 小数

• 求负数补码的快捷方式
原码符号位保持不变数值位每位取反，末位加 1 (过程可逆)

练习

求下列真值的补码和原码

真值	补码	原码
+70	0, 1000110	0, 1000110
-70	1, 0111010	1, 1000110
0.1110	0.1110	0.1110
-0.1110	1.0010	1.1110
0.0000	0.0000	0.0000
-0.0000	0.0000	1.0000
−1.0000	1.0000	不能表示

• 性质
1. 在补码表示中，0 有唯一的编码
2. 补码在运算过程中，符号位和数值位可同等处理，即二者一起参加运算
3. 补码在负数方向上比原码稍宽（多表示一个数） 对于定点小数，可表示 −1；对于定点整数，可表示
4. 补码特点：补码适合于进行加减运算

• 当 n = 5 时，最小的真值为
可见，最小真值的移码为全 0

• 用移码表示浮点数的阶码能方便地判断浮点数的阶码大小